开平方运算(【笔算开平方】)

开平方运算

 提出问题1 山西中考试题

不用平方根表和计算器,可不可以求出一个数的平方根呢?

2 探索规律
√(1156)

先一起来研究一下,怎样求√(1156)?
不难观察出1156的算术平方根在30和40之间,且十位数是3,设√(1156)=30+x,我们来研究一下x所满足的关系式:
1156=(30+x)2=302+2×30x+x2, 
1156-302=2×30x+x2,
256=(3×20+x)x,
这就是说,x与3×20的和,再乘以x,等于256.
可用下面的竖式来进行计算:
根号上面的数3是平方根的十位数,
将256试除以3×20,得4,
因为3×20+4=64;64×4=256,
所以4就是所求的个位数x.
竖式中的余数是0,表示开方正好开尽.
于是得到1156=342或 √(1156)=34.

√(85264)

上述求平方根的方法,称为笔算开平方法,用这个方法可以求出任何正数的算术平方根,它的计算步骤如下:
以√(85264)为例:
1.被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,分成几段,表示所求平方根是几位数【8,52,64】;
2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数【2】;
3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数【452】;    
4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商【9】;
5.用第一个余数减去第一个试积【49×9=441】,在它们的差的右边写上第三段数组成第二个余数【1164】;    
6.把求得的前两位数乘以20去试除第二个余数,所得的最大整数作为试商【2】;
7.竖式中的余数是0,表示开方正好开尽,于是得到85264=2922或 √(85264)=292.

√(12.5)(精确到0.01)

若竖式中的余数不是0,表示开方开不尽,可根据要求的精确度求出它的近似值.
例如:求√(12.5)的近似值(精确到0.01),
可列出下边的竖式,并根据这个竖式得到√(12.5)≈3.54.

3 数学史

      笔算开平方运算较繁,在实际中直接应用较少,但用这个方法可以求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值。
      我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里,就在世界数学史上介绍了上述笔算开平方法。据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍。这表明,我国古代对于开方的研究在世界上是遥遥领先的。

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